Astronomía
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Métrica Seudoeuclídea

Métrica Seudoeuclídea

Entrada anterior: Una sección del Hiperplano Isócrono del Universo de Minkowski.

Poincaré transformation, Spacetime, Geometry, Minkowski diagrams, Semi-Riemannian manifold, Curvature tensor, Ricci Calculus, Alicia Capetillo

•Diagrama Espaciotiempo de Minkowski. Representación Euclídea del Espaciotiempo de Minkowski (líneas Isótropas e hipérbolas Isométricas).  
•Las Transformaciones de Lorentz inducen a que los hiperplanos de simultaneidad de un observador se crucen oblicuamente con los de otro,   cuando ambos se encuentran en movimiento relativo.

 

Cómo se miden distancias en la Métrica Seudoeuclídea.

Vivimos en un Espacio Euclídeo en el que las distancias se miden exclusivamente con números reales. Y para realizar esas medidas acudimos a una herramienta matemática denominada vector. En nuestro Espacio si queremos por ejemplo, medir la distancia promedio entre la Tierra y la Luna decimos que hay 384.400 kms, usamos por ello un valor que es un número real. Representamos dicha distancia con un vector desde el centro de la Tierra al centro de la Luna; 384.400 kms representa el módulo del vector Tierra-Luna. En nuestro 'mundo' cotidiano el módulo de un vector es independiente de la dirección del mismo. Un vector de módulo 10 por ejemplo, siempre conserva ese valor, independientemente de su dirección.
Una vez recordado esto, Mink desveló a Atria que en el Espaciotiempo de Minkowski las cosas funcionan de otra manera, porque las distancias pueden ser medidas con números reales o con números imaginarios dependiendo de en qué dirección realicemos la medida. En el Espaciotiempo de Minkowski cuando se mide la distancia entre dos puntos, las cosas se complican un poco, porque ésta depende de la dirección del vector. Ejemplo, si queremos medir una circunferencia de radio unidad en el Espacio Euclídeo, todo el mundo sabe que el radio siempre mide 1 a lo largo de toda la circunferencia, pero en un Espaciotiempo de Minkowski el radio mide 1 en la dirección del 'eje x', mide 1i en la dirección del 'eje y', pero en una dirección intermedia entre 'x' e 'y' el radio se hace infinito.
Incrédula por las palabras de Mink, ella decidió coger papel y lápiz de su mochila y dibujó una circunferencia de radio 1.
-Ok –le dice a Mink mirando el dibujo- esta circunferencia tiene radio 1. ¿Quieres decir que esta misma circunferencia si la dibujas en el Espaciotiempo de Minkowski no tendría el mismo aspecto?
-Así es. Si la circunferencia es dibujada en un Espacio Euclídeo, como acabas de hacer, aquí la veremos, tal cual. Ahora bien, si la circunferencia es dibujada en un Espacio Euclídeo pero la observamos desde la métrica de Minkowski la veremos como un trébol de 4 hojas.
Atria escuchaba atenta y preguntó.
-Curioso. Y si eres tú quien la dibuja en tu métrica… ¿cómo la veré desde aquí?
-Vamos a comprobarlo… -propone Mink-.
Una intensa luz de color azul recubrió la silueta de Mink hasta hacerle desaparecer.
-¿Todo bien verdad? –pregunta desde su plano minkowskiano-.
-Sí… -responde Atria perpleja-.
-Bien, voy a dibujar una circunferencia, cuando acabe dime qué ves –propone-.
Ella observaba expectante. Una figura geométrica empezó a dibujarse en el aire a la altura del lugar donde estaba sentado Mink.
-Pero… ¿estás dibujando una circunferencia? –pregunta asombrada-.
-Afirmativo. ¿Qué ves?
-Pues… me recuerda a una función con asíntotas.
Mink matizó.
-Tú la ves como dos hipérbolas conjugadas con asíntotas a 45° de los ejes de coordenadas.
Dicho esto regresó a la métrica de Atria y pudo verle otra vez.
-Y ¿cómo veis las circunferencias dibujadas por vosotros en vuestra métrica?
-Entre nosotros igual que entre vosotros –resuelve él- también como circunferencias. El aspecto de la circunferencia sólo se modifica al observarla desde otra métrica distinta. En fin, estos ejemplos son para que veas cómo se distorsiona la geometría al cambiar de métrica.
-¿Por qué en el Espaciotiempo de Minkowski el radio de esa circunferencia se hace infinito entre 'x' e 'y'?
-Porque en el Espacio Euclídeo para medir, vosotros utilizáis una cinta métrica, como por ejemplo un metro, pero en el Espaciotiempo de Minkowski para medir distancias usamos una cinta métrica Seudoeuclídea que se comporta de una forma muy diferente a la vuestra. Entonces, lo que ocurre entre 'x' e 'y' es que la cinta métrica se nos estira hasta el infinito, cambia de longitud justo en la diagonal entre 'x' e 'y', se hace infinita y por esa razón allí los valores valen cero. Vamos a verlo...

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 'Un Viaje a la Métrica de Minkowski©'.

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